Дифракция света

      Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина – система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос.
      Дифракционные явления были хорошо известны еще во времена Ньютона, но объяснить их на основе корпускулярной теории света оказалось невозможным. Первое качественное объяснение явления дифракции на основе волновых представлений было дано английским ученым Т. Юнгом. Независимо от него французский ученый О. Френель развил количественную теорию дифракционных явлений (1818 г.). В основу теории Френель положил принцип Гюйгенса, дополнив его идеей об интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса в его первоначальном виде позволял находить только положения волновых фронтов в последующие моменты времени, т. е. определять направление распространения волны. По существу, это был принцип геометрической оптики. Гипотезу Гюйгенса об огибающей вторичных волн Френель заменил физически ясным положением, согласно которому вторичные волны, приходя в точку наблюдения, интерферируют друг с другом. Принцип Гюйгенса–Френеля также представлял собой определенную гипотезу, но последующий опыт подтвердил ее справедливость. В ряде практически важных случаев решение дифракционных задач на основе этого принципа дает достаточно хороший результат. Этот рисунок иллюстрирует принцип Гюйгенса–Френеля.
Принцип Гюйгенса–Френеля. ΔS1 и ΔS2 – элементы волнового фронта, и – нормали.
      Пусть поверхность S представляет собой положение волнового фронта в некоторый момент. Для того чтобы определить колебания в некоторой точке P, вызванное волной, по Френелю нужно сначала определить колебания, вызываемые в этой точке отдельными вторичными волнами, приходящими в нее от всех элементов поверхности S (ΔS1, ΔS2 и т. д.), и затем сложить эти колебания с учетом их амплитуд и фаз. При этом следует учитывать только те элементы волновой поверхности S, которые не загораживаются каким-либо препятствием.
      Рассмотрим в качестве примера простую дифракционную задачу о прохождении плоской монохроматической волны от удаленного источника через небольшое круглое отверстие радиуса R в непрозрачном экране.
Дифракция плоской волны на экране с круглым отверстием.
      Точка наблюдения P находится на оси симметрии на расстоянии L от экрана. В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля следует мысленно заселить волновую поверхность, совпадающую с плоскостью отверстия, вторичными источниками, волны от которых достигают точки P. В результате интерференции вторичных волн в точке P возникает некоторое результирующее колебание, квадрат амплитуды которого (интенсивность) нужно определить при заданных значениях длины волны λ, амплитуды A0 падающей волны и геометрии задачи. Для облегчения расчета Френель предложил разбить волновую поверхность падающей волны в месте расположения препятствия на кольцевые зоны (зоны Френеля) по следующему правилу: расстояние от границ соседних зон до точки P должны отличается на полдлины волны, т. е.

      Если смотреть на волновую поверхность из точки P, то границы зон Френеля будут представлять собой концентрические окружности.
Границы зон Френеля в плоскости отверстия.
      Из рисунка легко найти радиусы ρm зон Френеля:

      Так в оптике λ << L, вторым членом под корнем можно пренебречь. Количество зон Френеля, укладывающихся на отверстии, определяется его радиусом R:

Здесь m – не обязательно целое число. Результат интерференции вторичных волн в точке P зависит от числа m открытых зон Френеля. Легко понять, что все зоны имеют одинаковую площадь:

Одинаковые по площади зоны должны были бы возбуждать в точке наблюдения колебания с одинаковой амплитудой. Однако у каждой последующей зоны угол α между лучом, проведенным в точку наблюдения, и нормалью к волновой поверхности возрастает. Френель высказал предположение (подтвержденное экспериментом), что с увеличением угла α амплитуда колебаний уменьшается, хотя и незначительно:

A1 > A2 > A3 > ... > Am

где Am – амплитуда колебаний, вызванных m-й зоной.
      С хорошим приближением можно считать, что амплитуда колебаний, вызываемых некоторой зоной, равна среднему арифметическому из амплитуд колебаний, вызываемых двумя соседними зонами, т. е.

      Так как расстояния от двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на λ / 2, следовательно, возбуждаемые этими зонами колебания находится в противофазе. Поэтому волны от любых двух соседних зон почти гасят друг друга. Суммарная амплитуда в точке наблюдения есть

A = A1 – A2 + A3 – A4 + ... = A1 – (A2 – A3) – (A4 – A5) – ... < A1

      Таким образом, суммарная амплитуда колебаний в точке P всегда меньше амплитуды колебаний, которые вызвала бы одна первая зона Френеля. В частности, если бы были открыты все зоны Френеля, то до точки наблюдения дошла бы невозмущенная препятствием волна с амплитудой A0. В этом случае можно записать:

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, действие (амплитуда), вызванное всем волновым фронтом, равно половине действия одной первой зоны.
      Итак, если отверстие в непрозрачном экране оставляет открытой только одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний обращается в нуль. Если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний резко возрастает. Например, если открыты 1, 3 и 5 зоны, то A = 6A0, I = 36I0
      Такие пластинки, обладающие свойством фокусировать свет, называются зонными пластинками.
      При дифракции света на круглом диске закрытыми оказываются зоны Френеля первых номеров от 1 до m. Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения будет равна

или A = Am+1 / 2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Если диск закрывает зоны не слишком больших номеров, то Am+1≈ 2A0 и A ≈ A0, т. е. в центре картины при дифракции света на диске наблюдается интерференционный максимум. Это – так называемое пятно Пуассона, оно окружено светлыми и темными дифракционными кольцами.
      Оценим размеры зон Френеля. Пусть, например, дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L = 1 м от препятствия. Длина волны света λ = 600 нм (красный свет). Тогда радиус первой зоны Френеля есть

      Таким образом, в оптическом диапазоне вследствие малости длины волны размер зон Френеля оказывается достаточно малым. Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда на препятствии укладывается лишь небольшое число зон:

Это соотношение можно рассматривать как критерий наблюдения дифракции. Если число зон Френеля, укладывающихся на препятствии, становится очень большим, дифракционные явления практически незаметны:

Это сильное неравенство определяет границу применимости геометрической оптики. Узкий пучок света, который в геометрической оптике называется лучом, может быть сформирован только при выполнении этого условия. Таким образом, геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики.
      Выше был рассмотрен случай дифракции света от удаленного источника на препятствиях круглой формы. Если точечный источник света находится на конечном расстоянии, то на препятствие падает сферически расходящаяся волна. В этом случае геометрия задачи несколько усложняется, так как зоны Френеля теперь нужно строить не на плоской, а на сферической поверхности.
Зоны Френеля на сферическом фронте волны.

      Расчет приводит к следующему выражению для радиусов ρm зон Френеля на сферическом фронте волны:

      Все выводы изложенной выше теории Френеля остаются справедливыми и в этом случае.
      Следует отметить, что теория дифракции (и интерференции) световых волн применима к волнам любой физической природы. В этом проявляется общность волновых закономерностей. Физическая природа света в начале XIX века, когда Т. Юнг, О. Френель и другие ученые развивали волновые представления, еще не была известна.

Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

      Для практики наиболее интересен случай дифракции света, когда препятствие оставляет открытой лишь малую часть 1-й зоны Френеля. Этот случай реализуется при условии

т. е. дифракционную картину от препятствий небольшого размера следует в этом случае наблюдать на очень больших расстояниях. Например, если R = 1 мм, λ = 550 нм (зеленый свет), то расстояние L до плоскости наблюдения должно быть значительно больше 2 метров (т. е. минимум 10 метров или больше). Лучи проведенные в далекую точку наблюдения от различных элементов волнового фронта, практически можно считать параллельными. Этот случай дифракции так и называется – дифракция в параллельных лучах или дифракция Фраунгофера – по имени немецкого физика И. Фраунгофера, современника Френеля. Если на пути лучей за препятствием поставить собирающую линзу, то параллельный пучок лучей, дифрагировавший на препятствии под углом θ, соберется в некоторой точке фокальной плоскости. Следовательно, любая точка в фокальной плоскости линзы эквивалентна бесконечно удаленной точке в отсутствие линзы.
Дифракция в параллельных лучах. Зеленая кривая – распределение интенсивности в фокальной плоскости (масштаб по оси x сильно увеличен).
      В фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина Фраунгофера. Но согласно геометрической оптике, в фокусе линзы должно располагаться точечное изображение удаленного точечного предмета. На самом деле изображение точечного предмета оказывается размытым из-за дифракции. В этом проявляется волновая природа света.
      Никакая оптическая система не может дать точечного изображения. В случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D дифракционное изображение состоит из центрального светлого пятна (диск Эйри), на которое приходится приблизительно 85 % энергии света, и окружающих его светлых и темных колец. Это дифракционное пятно и принимается за изображение точечного источника. Радиус центрального пятна в фокальной плоскости линзы равен

      Если лучи света от удаленного источника падают на линзу непосредственно, то роль экрана, на котором дифрагирует свет, выполняет оправа линзы. В этом случае под D нужно понимать диаметр линзы.
Дифракционное изображение точечного источника (дифракция на круглом отверстии). В центральное пятно попадает приблизительно 85% энергии света.
      Размер дифракционных изображений очень мал. Например, радиус центрального светлого пятна в фокальной плоскости линзы диаметром D = 5 см с фокусным расстоянием F = 50 см в монохроматическом свете с длиной волны λ = 500 нм приблизительно равен 0,006 мм. Во многих оптических устройствах (фотоаппараты, проекторы) дифракционное размытие изображений маскируется значительно более сильными искажениями из-за несовершенства оптики. Но в высокоточных астрономических приборах реализуется дифракционный предел качества изображений. Вследствие дифракционного размытия изображения двух близких точек объекта могут оказаться неотличимы от изображения одной точки. Рассмотрим в качестве примера объектив астрономического телескопа, нацеленного на две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии ψ друг от друга. Предполагается, что все дефекты и аберрации устранены, и в фокальной плоскости объектива наблюдаются дифракционные изображения звезд.
Дифракционные изображения двух близких звезд в фокальной плоскости объектива телескопа.
      На рисунке расстояние Δl между центрами дифракционных изображений звезд превышает радиус r центрального светлого пятна – в этом случае изображения звезд воспринимаются наблюдателем раздельно и, следовательно, объектив телескопа позволяет разрешить две близкие звезды. При уменьшении углового расстояния ψ между звездами дифракционные изображения могут сильно перекрыться и перестанут отличаться от изображения одиночной звезды. В этом случае объектив телескопа не разрешает близкие звезды. Английский физик Дж. Релей в конце XIX в. предложил условно считать разрешение полным, когда расстояния Δl между центрами изображений равно (или превышает) радиус r диска Эйри. Условие Δl = r называют критерием разрешения Релея. Из этого критерия следует:

      Телескоп с диаметром объектива D = 1 м способен разрешать две звезды, находящиеся на угловом расстоянии ψmin = 6,7•10-7 рад (для λ = 550 нм).
Предел разрешения по Релею. Красная кривая – распределение суммарной интенсивности света.
      Космический телескоп Хаббла, выведенный на орбиту в 1990 году, имеет зеркало диаметром D = 2,40 м. Предельное угловое разрешение этого телескопа по длине волны λ = 550 нм равно: ψmin = 2,8•10-7 рад. На работу космического телескопа не оказывают влияния атмосферные возмущения. Для характеристики объектива телескопа можно ввести величину R, обратную предельному углу ψmin. Эту величину называют разрешающей силой телескопа:

      Для увеличения разрешающей способности телескопа следует увеличивать диаметр объектива (либо переходить к более коротким волнам). Все сказанное выше о разрешающей способности телескопа применимо и к невооруженному глазу. Глаз при рассматривании удаленных предметов действует так же, как и объектив телескопа. Роль D играет диаметр зрачка глаза dзр. Полагая dзр = 3 мм, λ = 550 нм, найдем для предельного углового разрешения глаза

      Этот результат хорошо согласуется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, выполненной исходя из размеров светочувствительных элементов сетчатки (палочек и колбочек).
      Теперь можно сделать один общий вывод: световой пучок диаметром D и длиной волны λ вследствие волновой природы света испытывает дифракционное уширение. Угловая полуширина φ пучка оказывается порядка λ / D, так что полная ширина d пучка на расстоянии L приблизительно равна

      Рисунок показывает, как по мере удаления от препятствия трансформируется пучок света.
Пучок света, расширяющийся вследствие дифракции. Область I – понятие луча света, законы геометрической оптики. Область II – зоны Френеля, пятно Пуассона. Область III – дифракция в параллельных лучах.
      Оценки, выполненные на рисунке, показывают, что угловое расхождение пучка уменьшается при увеличении его первоначального поперечного размера D. Этот вывод справедлив для волн любой физической природы. Чтобы, например, послать «узкий» пучок лазерного излучения на Луну, нужно сначала его расширить. Это достигается с помощью телескопа, когда лазерный пучок направляется в окуляр и затем, пройдя через телескоп, выходит из объектива, имея диаметр D.
Расширение лазерного пучка с помощью телескопической системы.
      Такой расширенный пучок, дойдя до Луны, «засветит» на ее поверхности пятно радиусом

где L – расстояние до Луны. Приняв D = 2,5 м , λ = 550 нм, L = 4•106 м, получим R ≈ 90 м. Если бы на Луну был направлен первоначальный пучок лазерного света, имеющий диаметр порядка 1 см, то он «засветил» бы на Луне пятно, радиус которого оказался бы в 250 раз больше.
      Разрешающая способность микроскопа. С помощью микроскопа наблюдают близко расположенные объекты, поэтому его разрешающаяся способность характеризуется не угловым, а линейным расстоянием между двумя близкими точками, которые еще могут восприниматься раздельно. Наблюдаемый объект располагается вблизи переднего фокуса объектива. Часто пространство перед объективом заполняется специальной прозрачной жидкостью – иммерсией. В плоскости, геометрически сопряженной объекту, располагается его увеличенное изображение, которое рассматривается глазом через окуляр. Изображение каждой точки оказывается размытым вследствие дифракции света.
Иммерсионная жидкость перед объективом микроскопа.

      Впервые предел разрешения объектива микроскопа был определен немецким физиком Г. Гельмгольцем. Формула Гельмгольца имеет вид:

      Здесь λ – длина волны, n – показатель преломления иммерсионной жидкости, α – так называемый апертурный угол. Величина n sin α называется числовой апертурой.
      У хороших микроскопов апертурный угол α близок к своему пределу: α ≈ π / 2. Как видно из формулы Гельмгольца, применение иммерсии несколько улучшает предел разрешения. Полагая для оценок sin α ≈ 1,    n≈1,5, получим:

lmin ≈ 0,4 λ

      Таким образом, с помощью микроскопа принципиально невозможно рассмотреть какие-либо детали, размер которых значительно меньше длины света. Волновые свойства света определяют предел качества изображения объекта, полученного с помощью любой оптической системы.



Яндекс.Реклама