Задача.
На берегу моря, из точки А, находящейся
на расстоянии от берега h1, было замечено, что в море
на расстоянии S от точки А,
под углом α к берегу в точке В тонет человек. Необходимо с
наименьшим временем добраться спасателю до тонущего человека. Определите, под
каким углом должен двигаться спасатель к тонущему, если известно, что скорость
спасателя на берегу V1, а в воде – V2.
α0 V1 α h1 α0 S α1
G R
A
Рис.1 h1 S V1 α А Рис.1
К
F В АС=h1
AB=S V2
β1 C D Е х C D C D
Задачу решаем у доски. В
решении надо подвести учащихся к принципу Ферма, к принципу наименьшего
времени. Учащиеся должны увидеть сходство этой задачи с задачей прохождения
света из одной среды в другую. Для решения задачи необходимы формулы, по
которым определяется показатель преломления среды:
n=Sin α/Sin β; n= V1/V2.
Введём некоторые
обозначения:
S1=AD=h1/Cos(α 0);
S2=S-S1; h2=h1*s2/s1;
Задавая по оси Х от точки D отрезок, равный dа, определим новый угол
α, а значит и найдём угол β.
a=CD+da, a/h1=tg(α), b=S*sin(α)-a;
b/h2=tg(β);
Определив значения
углов α и β, можно найти значения синусов их, а значит и
отношение n1=sin α/sin
β.
Если это отношение будет больше, чем
отношение скоростей n2= v1/v2, то задаётся ещё один шаг da, и
вновь вычисляем углы α и β. Вычисления можно продолжать до тех пор,
пока отношение n1 и n2 не будут отличаться на
заданное число е.
Для решения задачи
воспользуемся файлом .МММ. Найдём программу SPAS2.bas.
В этой программе задайте
угол α 0
, расстояние до
тонущего человека S, расстояние до берега H1, скорость передвижения по
берегу V1, скорость передвижения в воде V2.
Компьютер вычислит угол, под
которым должен двигаться спасатель к берегу, чтобы затратить минимальное время
для передвижения из точки А в точку В.
После обсуждения с учащимися задачи и составления формул, демонстрируется решение задачи компьютером.
После решения задачи предлагается привести ещё
примеры подобных задач.