СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

"Все есть число", - говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Известно множество способов представления чисел. Но в любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называются цифрами, символические изображения чисел - кодами, а правила их получения - системами счисления (кодирования).

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков и соответствующие ему правила выполнения действий над числами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

Позиционные	Непозиционные
Это такие системы счисления, в которых величина, которую обозначает цифра в записи числа, зависит от положения цифры в этом числе.	Это такие системы счисления, в которых величина, которую обозначает цифра в записи числа, не зависит от положения цифры в этом числе.
Например: 10-, 2-, 3-, 8-, 16-чная и т.д.	Например: римская система счисления.

Алфавит системы счисления - это совокупность цифр и букв, с помощью которых записываются числа.

Основание системы счисления - это количество цифр в алфавите.

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления равно 2. Такая система называется двоичной.

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ

Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Так например, в некоторых областях Украины еще несколько десятков лет назад продавали яблоки, яйца и многое другое на "копы" - кучи по 60 штук.

До нашего времени дошли многие древние вавилонские глиняные таблички, на которых в шестидесятеричной системе счисления решены сложнейшие задачи, такие, как вычисление корней, отыскание объема пирамиды и другие. Для записи чисел использовалось всего два знака: клин вертикальный (единицы) и клин горизонтальный (десятки). Все числа от 1 до 59 записывались в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе счисления с основанием 60. Например, число 1972 записывалось так:
_ _ _II_ _ _ _ _ _ II
32 · 60 + 52 = 1972

В Китае долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Широкое распространение до первой трети ХХ века имели элементы двенадцатеричной системы счисления, некоторые отголоски которой дошли до нашего времени: в сутках две дюжины часов, час делится на 5 дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов и т.д. Влияние двенадцатеричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12, 24, количество приборов в сервизах равно 6, 12 и т.д.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются: десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)

Десятичная система счисления

Так, например, в числе 555 цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения - 5 сотен, 5 десятков, 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (количественный эквивалент) изменяется в 10 раз.

Число 555 - записано в свернутой форме и привычно для нас. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение производится в явной форме:
55510 = 5· 102 + 5· 101 + 5· 100

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.
555,5510 = 5· 102 + 5·1 + 5· 100 + 5· 10-1 + 5· 10-2

Двоичная система счисления

Двоичное число 111012 записано в свернутой форме. Двоичное число 111012 в развернутой форме будет записано так:
11101,012 = 1· 24 + 1· 23 + 1· 22 + 0· 21 + 1· 20 + 0· 2-1 + 1· 2-2

Восьмеричная система счисления

Восьмеричное число 237,018 записано в свернутой форме.

Восьмеричное число 237,018 в развернутой форме будет записано так:
237,018 = 2· 82 + 3· 81 + 7· 80 + 0· 8-1 + 1· 8-2

Шестнадцатеричная система счисления

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

Шестнадцатеричное число 3А,С16 записано в свернутой форме.

Шестнадцатеричное число 3А,С16 в развернутой форме будет записано так:
3А,С16 = 3· 161 + 10· 160 + 12· 16-1