Список задач

Задача № 1
Высота правильной четырёхугольной призмы равна H, а угол между диагоналями, проведёнными из одной вершины основания в двух смежных боковых гранях, равен А. Найдите боковую поверхность призмы.

Задача № 2
Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углом А и В соответственно. Найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проведённой через диагонали двух смежных боковых граней параллелепипеда.

Задача № 3
В правильной четырёхугольной пирамиде через сторону основания, равную а, проведена секущая плоскость, делящая пополам двугранный угол при основании, равный 2Y. Найти площадь получившегося сечения.

Задача № 4
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 2, а высота - v2. Найти расстояние между ребром SA и диагональю BD основания.

Задача № 5
Высота цилиндра равна диаметру основания. Под углом А к плоскости основания проведена прямая, соединяющая некоторую точку окружности нижнего основания с некоторой точкой окружности верхнего основания. Найти кратчайшее расстояние между этой прямой и осью цилиндра, если радиус основания равен R.

Задача № 6
В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найти угол между осью конуса и его образующей, зная, что полная поверхность цилиндра относится к площади основания конуса как 3:2.

Задача № 7
Площадь боковой поверхности конуса равна сумме площадей основания и осевого сечения. Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Задача № 8
Около шара описан усечённый конус, у которого площадь одного основания в 4 раза больше площади другого основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Задача № 9
Объём конуса равен V. В конусе вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом А между боковыми сторонами. Найти объём пирамиды.

Задача № 10
Найдите объём пирамиды, у которой в основании лежит ромб с острым углом 45? и стороной, равной 6 см. Все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом, также равным 45?.

Задача № 11
В тетраэдре основанием является треугольник со сторонами 5м, 12м, 13м. Боковые грани тетраэдра составляют с основанием один и тот же угол 30?. Найдите объём пирамиды.

Задача № 12
Прямоугольный треугольник с катетами 6 дм и 8 дм - основание прямой треугольной призмы. Высота призмы 12 дм. Чему равна площадь сечения, которое перпендикулярно гипотенузе и проходит через её середину?

Задача № 13
Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами 3м и 1,6 м и острым углом 60?. Диагональное сечение равно 5,2 м?. Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Задача № 14
Найдите боковую поверхность параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если В1A=B1B=B1C=B1D, AA1=5см, ABCD - квадрат, AB=6 см.

Задача № 15
Сторона основания правильной усечённой пирамиды ABCDA1B1C1D1 относятся как A1B1:AB=m:n, высота пирамиды равно h и апофема a. Найдите площади оснований.

Задача № 16
Точки Ф и В лежат на окружности основания конуса, радиус основания 75м, высота конуса 60м. Высота пирамиды ОАВР равна 36м, где Р - вершина конуса, точка О - центр основания конуса. Найдите площадь треугольника АВР.

Задача № 17
Основание пирамиды SABC - треугольник ABC, в котором /_C=90?, AB=5,AC=3. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания, и SC=CB. Точки K и F - середины сторон AC и AB соответственно. Найдите площадь сечения, параллельного прямой SC и проходящего через точки K и F.

Задача № 18
Основание пирамиды SABC - правильный треугольник со стороной 2v3. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания, а грань ACS наклонена к плоскости основания под углом 60?. Найти объём пирамиды.

Задача № 19
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно v3. Найти расстояние от вершины С до плоскости BDC1.

Задача № 20
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами, равными 12 и 5. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45?. Найдите объём пирамиды.

Задача № 21
Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 30?, апофема равна 4. Найдите объём пирамиды.

Задача № 22
В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 12 и 5. Углы между боковыми гранями и плоскостью основания равны 45?. Найдите объем пирамиды.

Задача № 23
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, а угол между плоскостями основания и боковой гранью равен 30?. Найдите объём пирамиды.

Задача№ 24
Дан куб ABCDA1B1C1D1 со стороной 1. Найдите градусную меру угла между прямыми AC1 и CB1 .

Задача № 25
В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Боковое ребро BS перпендикулярно основанию и равно ребру основания. Найдите градусную меру угла между боковым ребром FS и плоскостью основания.

Задача № 26
Угол между боковой гранью правильной четырёхугольной пирамиды и плоскостью основания равен 60?. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 2v3.

Задача № 27
Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром v6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BDC.

Задача № 28
Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1, в основании которой лежит квадрат со стороной 2. Боковое ребро призмы равно v6/3. Найдите градусную меру угла между плоскостью треугольника AB1C и плоскостью основания призмы.

Задача № 29
В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной, равной 2. Одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна основанию. Найдите объём пирамиды.

Задача № 30
Около правильной четырёхугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 24 ?. Найдите радиус цилиндра, если диагональ боковой грани призмы равна 5.